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By Hans Triebel

Von 1974 bis 1979 hatte ich an der Friedrich-Schiller-Universitat in Jena die sicherlich nicht alltagliche Gelegenheit, einen durchgehenden 10semestrigen Kurs flir Mathematikstudenten zu lesen. Entsprechend dem Studienplan hatten diese Vorlesungen verschiedene N amen (Differential- und Integralrechnung, gewohn liche Differentialgleichungen usw.), Inhalt und Zielstellung werden aber wohl am besten durch "Analysis und mathematische Physik" ausgedriickt. Das Buch ist das erweiterte Skelett dieses Kurses. Skelett insofern, als auf Beweise weitgehend verzichtet wurde (im Gegensatz zu groBen Teilen der Vorlesung). Andererseits wurden die Kapitel 27, 32 und 33 nachtraglich eingefligt. Das Ziel des Kurses ist klar, wenn guy einen Blick in das Inhaltsverzeichnis dieses Buches wirft: Einerseits hat die Mathematik groBartige, elegante, in sich geschlossene Theorien entwickelt, die keiner weiteren Rechtfertigung bediirfen. Andererseits sind es oft gerade die schonsten dieser Theorien, die zugleich das Fundament bilden, auf dem klassische und moderne theoretische Physik ruhen. Es warfare das Ziel, nicht nur diese Fundamente zu beschreiben, sondern auch einen Eindruck von den Gebauden zu vermitteln, die iiber ihnen errichtet werden konnen. Getreu dem Hilbertschen perfect werden hierbei mathematische Theorien und ihre physikalischen Interpretationen und Anwendungen sauberlich getrennt.

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Das Verfahren klappt auch, wenn man die Lange des Bogens P OP 1 ermitteln will, die mit x bezeichnet wird. Es iet also O~x~27r. Ferner haben f(x) und g(x) die eingetragene Bedeutung, wobei Vorzeichen zu beriicksichtigen sind. Lemma. Fur 0~x~27t ist g(x) = sin x und f(x) =cos x. Bemerkung 3. Der Beweis wird gefiihrt, indem man nachweist, daB f(x) und g(x) die obigen Differentialgleichungen und Anfangsbedingungen erfiillen. Satz. Es ist xERi und yERi . (a) sin x=sin (x + 27t), cos x=cos (x+27t) (periodische Funktionen).

Die Frage, 0 b (1) gilt, ist somit eine Frage, 0 b diese Restglieder gegen null gehen fUr k ..... co oder nicht (vorausgesetzt, daB f beliebig oft differenzierbar ist). Bemerkung 2. Hat f stetige Ableitungen bis zur Ordnung k+1 in einer Umgebung (xo-e, x Xo xo+e), e>O, so gelten (2) und (3) fiir xE(xo-e, xo+e), wobei man in (2) f fiir x zierbar, XE(Xl, x2) und XOE(Xl' x2). 1st :1:2) beliebig ojt differen- lx-x IH1 o sup If(k+1)(y)I-O jur k .....

Die Umkehrfunkt1·on f- 1 1·St im Punkt Yo differenzierbar, und es gilt (f-l)'(yO) = f'(~o). Bemerkung 2. Die letzte Aussage folgt leicht aus dem obigen Spiegelungsprinzip, wenn man = Xo und fJ = Yo setzt und berticksichtigt, daB die Ableitung den Anstieg der Tangente beBchreibt. 5. Mittelwertsatze Die Bezeichnung, f sei in (a, b) "stetig differenzierbar", bedeutet, daB f im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist und daB die Ableitung f'(x) in (a, b) stetig ist. Satz 1 (Satz von Rolle). f sei in [a, b] stetig und in (a, b) stetig d1"fferenzierbar.

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