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By T. Husain, S.M. Khaleelulla

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Wir beweisen nun zunächst durch Rechnung, daß der Satz 3 in allen Dirichletschen Körpern K ö gilt, für welche 1~I < i6 ist. Benutzen wir die soeben aus dem Minkowskischen Satz abgeleitete Ungleichung, so wird dieser Nachweis durch folgende Tabelle geführt, in welcher unter der Rubrik ~ die sämtlichen absolut genommen unter i6liegenden Werte von ~ und unter der Rubrik 'V die den Bedingungen des Satzes 3 und der Ungleichung 1'V12<-V61~1 genügenden 'V sich angegeben finden, während daneben in der letzten Rubrik die Zahl des Körpers K ö hinzugefügt ist, deren Partialnorm gleich 'V wird.

Ist der Körper K selbst der Zerlegungskörper oder der Trägheitskörper, so ist nach diesem ersten Schritte die Zerlegung bereits abgeschlossen. 1 in gleiche Faktoren spalten, und zwar 2* 20 Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlköl'pers. )Jv' deren Exponent in pi - 1 aufgeht und folglich nicht durch p teilbar ist. )J ist mit diesem zweiten Schritte notwendig dann und nur dann abgeschlossen, wenn p im Grade der Trägheitsgruppe nicht aufgeht und mithin der Körper K selbst der Verzweigungskörper ist.

I I f = r. ßri = I,ßrv i . p~ =rv I I I $ Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers. 21 Von den mannigfachen Folgerungen und Anwendungen, welche die vorstehend entwickelte Theorie zuläßt, seien hier nur einige erwähnt, welche die Erforschung der Diskriminanten der betrachteten Zahlkörper bezwecken. Es sei" ein beliebiger Zahlkörper vom Grade m; w 1 , W 2 ' ••• , W m mögen eine Basis der ganzen Zahlen des Körpers" bilden und die zu der Zahlw konjugierten m - 1 Zahlen bezeichnen wir allgemein mit w', •.

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